Bài tập 2, § 9

(a) Trong một không gian $\mathbf{R}^n$ ($n \geq 2$), cho U là một tập mở không rỗng có phần bù không rỗng; hãy chứng minh rằng biên của U chứa một tập hoàn hảo không rỗng (xem Tôpô đại cương, Chương I, § 9, Bài tập 17).

(b) Suy ra từ (a) rằng, nếu A là một tập con trù mật khắp nơi của $\mathbf{R}^n$ giao với mọi tập hoàn hảo trong $\mathbf{R}^n$, thì A là lồi.

(c) Hãy chứng minh rằng tồn tại trong $\mathbf{C}$ một trường con K trù mật khắp nơi, liên thông và liên thông địa phương, và là một mở rộng siêu việt thuần của $\mathbf{Q}$ (áp dụng Tôpô đại cương, Chương IX, § 5, Bài tập 18 (b) và (c), xây dựng K bằng quy nạp siêu hạn, sử dụng (b) và phương pháp được mô tả trong Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 6, Bài tập 24). Suy ra rằng tồn tại một trường con $K' \supseteq K$ của $\mathbf{C}$ đẳng cấu (đại số) với $\mathbf{R}$, liên thông và liên thông địa phương.

(d) Hãy chứng minh, sử dụng (c), rằng tồn tại trên $\mathbf{C}$ tôpô của một không gian liên thông và liên thông địa phương, tương thích với cấu trúc trường và sao cho phép hoàn thành của $\mathbf{C}$ là một đại số trên $\mathbf{C}$ là hợp thành trực tiếp của hai trường đẳng cấu với $\mathbf{C}$.