Exercice 3, § 9

Soit K un corps localement compact commutatif, non discret, totalement discontinu; soit A l’anneau de la valeur absolue $\mathrm{mod}_K$ sur K, et soit U le groupe des unités de A. Pour tout entier $n > 0$, on désigne par $_nU$ le sous-groupe des racines $n$-èmes de l’unité dans K, par $U^n$ le sous-groupe de U formé des puissances $n$-èmes d’éléments de U. Montrer que si $n$ est premier à la caractéristique de K, $U^n$ est un sous-groupe ouvert de U, et que l’on a

(utiliser l’exerc. 14 de Intégr., chap. VII, § 2, et Alg. comm., chap. III, § 4, no 6, cor. 1 du th. 2 pour montrer que si m est l’idéal maximal de A, l’image par $x \to x^n$ de $1 + m^k$ est $1 + n.m^k$ pour k assez grand).