Bài tập 3, § 9

Cho K là một trường giao hoán compact địa phương rời rạc hoàn toàn không rời rạc; cho A là vành của giá trị tuyệt đối $\mathrm{mod}_K$ trên K và cho U là nhóm các phần tử đơn vị của A. Với mỗi số nguyên $n > 0$, gọi $_nU$ là nhóm các căn bậc n của đơn vị trong K và $U^n$ là nhóm con của U gồm các lũy thừa bậc n của các phần tử của U. Chứng minh rằng, nếu $n$ nguyên tố cùng nhau với đặc số của K, thì $U^n$ là một nhóm con mở của U và rằng

(dùng Bài tập 14 của Tích phân, Chương VII, § 2 và Đại số giao hoán, Chương III, § 4, no. 6, Hệ quả 1 của Định lý 2 để chứng minh rằng, nếu m là iđêan cực đại của $\mathbf{A}$, ảnh theo $x \mapsto x^n$ của $1 + m^k$ là $1 + n \cdot m^k$ với k đủ lớn).