Exercice 1, § 1

Soient K un corps, A le sous-anneau de l’anneau de séries formelles K[[T]] formé des séries dans lesquelles le coefficient de T est 0; A est un anneau local noethérien intègre, non intégralement clos.

a) Montrer que tout idéal principal de A, non nul et distinct de A, contient un élément et un seul de la forme $T^n + \lambda T^{n+1}$ avec $\lambda \in K$, $n \geqslant 2$; en outre, cet idéal contient toutes les puissances $T^m$ pour $m \geqslant n + 2$. En déduire que les idéaux non principaux de A sont les idéaux $AT^n + AT^{n+1}$ pour $n \geqslant 2$.

b) Montrer que tout idéal fractionnaire de A est divisoriel (prouver que tout idéal non principal est intersection de deux idéaux principaux). Décrire la structure du monoïde D(A). Les seuls idéaux premiers de A sont l’idéal maximal $m = AT^2 + AT^3$ et (0).