Exercice 29, § 1

Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions.

a) Soient L une extension algébrique de K, B la fermeture intégrale de A dans L. Montrer que pour tout idéal fractionnaire a de A, si on pose b = aB, on a \tilde{b} \cap A = \tilde{a}. (Se ramener au cas où A \subset \tilde{a}, autrement dit A : a \subset A, et prouver que B : b \subset B; pour cela, soit x \in B : b et soient c_i (1 \leqslant i \leqslant n) les coefficients de son polynôme minimal sur K; remarquer que pour tout y \in a, les éléments c_i y^i (1 \leqslant i \leqslant n) appartiennent à A, et en déduire que les c_i appartiennent à A).

b) Soit C un anneau de polynômes A[X_\lambda]_{\lambda \in L} par rapport à une famille quelconque d’indéterminées. Montrer que pour tout idéal fractionnaire a de A, si on pose c = aC, on a \tilde{c} \cap A = \tilde{a} (même méthode).