Exercice 3, § 1

Soient A un anneau intègre noethérien, $p$ un idéal premier de hauteur 1. Montrer que l’on a $A : p \neq A$ (dans le corps des fractions de A). (Si $c \neq 0$ est un élément de $p$, remarquer que $p \in \operatorname{Ass}(A/Ac)$ et en déduire que $Ac : p \neq Ac$ en vertu du chap. IV, § 2, exerc. 30). Le résultat est-il encore valable pour un anneau intègre non noethérien (considérer un anneau de valuation non discrète de hauteur 1)?