Exercice 1, § 2

a) Montrer que si $a$ est un idéal $\neq 0$ dans un anneau de Dedekind $A$, l’anneau $A / a$ est quasi-principal ($Alg.$, chap. VII, § 1, exerc. 5) (noter que $A / a$ est semi-local et raisonner comme dans la prop. 1 du n° 2). En déduire à nouveau que tout idéal fractionnaire de $A$ est engendré par deux éléments au plus (cf. § 1, exerc. 11 a)).

b) Dans l’anneau de polynômes $A = k[X, Y]$ sur un corps $k$, soit $m$ l’idéal $AX + AY$. Montrer que pour tout entier $n$, le nombre minimum de générateurs de l’idéal $m^n$ est $n + 1$.