Exercice 18, § 2

Soit A un anneau, réunion d’une famille filtrante croissante de sous-anneaux A_α qui sont des anneaux de Dedekind. On suppose que, pour tout idéal premier $p$ de $A_\alpha$, il existe $\beta \geq \alpha$ tel qu’il y ait au moins deux idéaux premiers distincts de $A_\beta$ au-dessus de $p$.

a) Montrer que l’anneau de tous les entiers algébriques (fermeture intégrale de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{C}$) vérifie les conditions précédentes (cf. chap. V, § 2, exerc. 6).

b) Soient $v$ une valuation non impropre de $A$, $z \in A$ tel que $v(z) > 0$, et soit $a$ l’idéal de $A$ formé des $x$ tels que $v(x) \geq v(z)$. Montrer que $A : a = A$, donc que $a$ n’est pas inversible, bien que pour tout idéal maximal $m$ de $A$, $aA_m$ soit un idéal principal dans l’anneau de valuation $A_m$ (cf. chap. II, § 5, no 6, th. 4).

c) Déduire de a) et b) un exemple d’anneau prüférien, complètement intégralement clos, mais qui n’est pas un anneau de Krull (cf. exerc. 15c) et 17b), et chap. V, § 1, exerc. 14).