Exercice 19, § 2

On dit qu’un anneau intègre $A$ est pseudo-prüférien si l’ensemble des diviseurs de type fini de $D(A)$ (§ 1, exerc. 11) est un groupe. Un anneau pseudo-prüférien est régulièrement intégralement clos (§ 1, exerc. 29). Un anneau pseudo-bezoutien (§ 1, exerc. 21) est pseudo-prüférien ; un anneau prüférien est pseudo-prüférien ; un anneau de Krull est pseudo-prüférien.

a) Montrer par des exemples que les réciproques de ces trois dernières assertions ne sont pas nécessairement vraies.

b) Soient $\theta$ un nombre irrationnel $> 0$, $\Gamma$ le groupe $\mathbf{R}^2$ ordonné en prenant l’ensemble des couples $(\alpha, \beta)$ tels que $\alpha \geq 0$ et $\beta \geq \theta \alpha$ pour ensemble des éléments positifs ; le groupe ordonné $\Gamma$ est complètement réticulé. Soit $B$ l’anneau pseudo-principal déduit de $\Gamma$ par le procédé du § 1, exerc. 22, et soit $A$ le sous-anneau intersection de $B$ et de l’algèbre sur $k$ du sous-groupe $\mathbf{Q}^2$ de $\mathbf{R}^2$. Montrer que $A$ est un anneau complètement intégralement clos, mais n’est pas pseudo-prüférien (noter que si $K$ est le corps des fractions de $A$, et $U$ le groupe des éléments inversibles de $A$, le groupe ordonné $K^*/U$ est isomorphe au groupe $\Gamma \cap \mathbf{Q}^2$, ordonné par l’ordre induit par celui de $\Gamma$).

c) Si l’anneau $A$ est pseudo-prüférien, montrer que l’anneau de polynômes $A[X]$ est pseudo-prüférien (cf. § 1, exerc. 30c)).

d) Soient $A$ un anneau pseudo-prüférien, $K$ son corps des fractions. Montrer que la fermeture intégrale $B$ de $A$ dans une extension algébrique $L$ de $K$ est un anneau pseudo-prüférien (méthode de l’exerc. 16, en utilisant le § 1, exerc. 29a)).

\* e) Déduire de l’exerc. 30d) du § 1 un exemple d’une suite croissante $(A_n)$ d’anneaux factoriels ayant même corps des fractions, dont la réunion n’est pas un anneau régulièrement intégralement clos (ni a fortiori un anneau pseudo-prüférien) (dans l’exemple cité, prendre pour $B$ un anneau de valuation discrète). \*