Exercice 14, § 3

Soient A un anneau local complet noethérien, dont le corps résiduel est de caractéristique $p > 0$. Dans l’anneau de séries formelles $A[[T]]$, on considère les éléments $\omega_n = (1 - T)^{p^n}$ et $\gamma_n = 1 - \omega_n$ pour tout entier $n > 0$. Montrer que $\gamma_n$ est, au signe près, un polynôme distingué (n° 8); en déduire que $A_n = A[[T]]/(\gamma_n)$ s’identifie à l’algèbre sur A du groupe $G_n = \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$. Montrer que l’intersection des idéaux principaux $(\gamma_n)$ est réduite à 0; en déduire que $A[[T]]$ s’identifie à la limite projective $\lim_{\leftarrow} A_n$.