Exercice 16, § 3

Soient B un anneau de valuation discrète, dont le corps résiduel k est fini et n’est pas un corps premier; soient $k_0$ le sous-corps premier de k, et soit A le sous-anneau de B formé des éléments dont la classe dans le corps résiduel appartient à $k_0$. Soient $\pi$ une uniformisante de B, et $(\theta_i)_{1 \leq i \leq m}$ un système d’éléments inversibles de B tel que les classes $\bar{\theta}_i$ mod. $\pi$ des $\theta_i$ forment un système de représentants de $k^*$ mod. $k_0^*$. Montrer que les éléments $p_i = \theta_i \pi$ et l’élément $\pi$ sont extrémaux dans A et que tout élément de A est produit d’un élément inversible et de puissances des $p_i$ et de $\pi$, bien que A ne soit pas intégralement clos.