Exercice 26, § 3

Soient A un anneau factoriel, K son corps des fractions. Pour que des éléments f_i (1 ≤ i ≤ r) de B = A[X_1, ..., X_n] soient tels que l’idéal $\sum_{i=1}^r Bf_i$ soit égal à B, il faut et il suffit qu’il existe des polynômes v_i (1 ≤ i ≤ r) de K[X_1, ..., X_n] tels que $\sum_{i=1}^r v_i f_i = 1$ et qui vérifient en outre la condition suivante : si l’on pose v_i = w_i/d, où d ∈ A, où les polynômes w_i appartiennent à A[X_1, ..., X_n] et le p.g.c.d. de l’ensemble des coefficients de tous les w_i (1 ≤ i ≤ r) est égal à 1, alors, pour tout élément extrémal p de A divisant d, l’idéal engendré par les classes des f_i dans l’anneau (A/Ap)[X_1, ..., X_n] est cet anneau tout entier.