Exercice 10, § 4

Soit $A$ un anneau commutatif. Pour tout sous-module $R$ d’un $A$-module libre de type fini $L = A^n$, on désigne par $\mathfrak{c}_1(R)$ l’idéal engendré par les $\langle x, x^* \rangle$, où $x$ parcourt $R$ et $x^*$ parcourt le dual $L^*$; on pose $\mathfrak{c}_k(R) = \mathfrak{c}_1 \left( \operatorname{Im} \left( \bigwedge^k R \right) \right)$, $\operatorname{Im} \left( \bigwedge^k R \right)$ étant l’image canonique de la puissance extérieure $k$-ème de $R$ dans $\bigwedge^k L$. Si $R_1 \subset R_2$ sont deux sous-modules de $L$, on a $\mathfrak{c}_k(R_1) \subset \mathfrak{c}_k(R_2)$ pour tout $k$.

a) Soit $M$ un $A$-module de type fini; $M$ est isomorphe à un module quotient $L/R$, où $L = A^n$ pour un $n$ convenable. Montrer que la suite d’idéaux $(\mathfrak{a}_k)_{k \geqslant 0}$ telle que $\mathfrak{a}_k = \mathfrak{c}_{n-k}(R)$ pour $k \leqslant n$ et $\mathfrak{a}_k = A$ pour $k > n$, est indépendante de l’expression de $M$ sous la forme $L/R$. (Considérer d’abord le cas où $L/R$ et $L/R'$ sont isomorphes; remarquer ensuite que $A^n/R$ est isomorphe à $A^{n+h}/(R \times A^h)$ pour tout $h > 0$). On pose $\mathfrak{d}_k(M) = \mathfrak{a}_k$ pour tout $k \geqslant 0$, et on dit que ce sont les idéaux déterminantiels associés à $M$. On a $\mathfrak{d}_k(M) \subset \mathfrak{d}_{k+1}(M)$ pour $k \geqslant 0$.

b) Si $A$ est un anneau principal et $M = L/R$ où $L$ est libre de type fini, montrer que les idéaux $\mathfrak{c}_{k+1}(R)(\mathfrak{c}_k(R))^{-1}$ sont les facteurs invariants de $R$ dans $L$.

c) Soit $r = \gamma(M)$ le plus petit des cardinaux des systèmes de générateurs de $M$, et soit $r_0$ le plus petit entier $h$ tel que $d_h(M) = A$. Montrer que $r_0 \leq r$ et donner un exemple où $r_0 < r$ (prendre pour $A$ un anneau de Dedekind).

d) Si $a$ est l’annulateur de $M$, montrer que l’on a $d_0(M) \subset a$ et $a^{r-k} \subset d_k(M)$ pour $k \leq r = \gamma(M)$.

e) On suppose que $M$ est somme directe de sous-modules $M_i$ ($1 \leq i \leq h$). Montrer que l’on a:

où la somme est étendue aux suites finies $(k_i)_{1 \leq i \leq h}$ telles que $\sum_{i=1}^h k_i = k$.

f) Si $N$ est un sous-module de type fini de $M$, on a $d_k(M/N) \subset d_k(M)$ pour tout $k \geq 0$. Montrer que l’on a:

g) Soient $K$ un corps, $A$ l’anneau de polynômes $K[X, Y, Z]$, m l’idéal maximal $AX + AY + AZ$, $q$ l’idéal de $A$ engendré par $X, Y^2, YZ$ et $Z^2$. On considère le $A$-module $M = A/q$ et son sous-module $N = m/q$. Montrer que l’on a $d_0(M) = q, \ d_1(M) = A, \ d_0(N) = m^2, \ d_1(N) = m$.