Bài tập 10, § 4

Cho $A$ là một vành giao hoán. Với mọi môđun con $R$ của một $A$-môđun tự do sinh hữu hạn $L = A^n$, gọi $c_1(R)$ là iđêan được sinh bởi các $(x, x^*)$, trong đó $x$ chạy qua $R$ và $x^*$ chạy qua đối ngẫu $L^*$; viết $c_k(R) = c_1(\mathrm{Im}(\bigwedge^k R))$, $\mathrm{Im}(\bigwedge^k R)$ là ảnh chính tắc của lũy thừa ngoài thứ $k$ của $R$ trong $\bigwedge^k L$. Nếu $R_1, R_2 \subset R$, là hai môđun con của $L$, thì $c_k(R_1) \subset c_k(R_2)$ với mọi $k$.

(a) Cho $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn; $M$ đẳng cấu với một môđun thương $L/R$, trong đó $L = A^n$ với một $n$ thích hợp. Chứng minh rằng dãy các iđêan $(a_k)_{k \geq 0}$ sao cho $a_k = c_{n-k}(R)$ với $k \leq n$ và $a_k = A$ với $k > n$ là độc lập với biểu diễn của $M$ dưới dạng $L/R$. (Xét trước trường hợp $L/R$ và $L/R'$ đẳng cấu; sau đó chú ý rằng $A^n/R$ đẳng cấu với $A^{n+h}/(R \times A^h)$ với mọi $h > 0$.) Ta viết $d_k(M) = a_k$ với mọi $k \geq 0$ và nói rằng đây là các iđêan định thức liên kết với $M$. Khi đó $d_k(M) \subset d_{k+1}(M)$ với $k \geq 0$.

(b) Nếu $A$ là một miền iđêan chính và $M = L/R$ trong đó $L$ là tự do và sinh hữu hạn, chứng minh rằng các iđêan $c_{k+1}(R)(c_k(R))^{-1}$ là các nhân tử bất biến của $R$ trong $L$.

(c) Cho $r = \gamma(M)$ là lực lượng nhỏ nhất của các hệ sinh của $M$ và cho $r_0$ là số nguyên $h$ nhỏ nhất sao cho $d_h(M) = A$. Chứng minh rằng $r_0 \leq r$ và cho một ví dụ trong đó $r_0 < r$ (lấy $A$ là một miền Dedekind).

(d) Nếu $a$ là linh hóa tử của $M$, hãy chỉ ra rằng $d_0(M) \subset a$ và $a^{r-k} \subset d_k(M)$ với $k \leq r = \gamma(M)$.

(e) Giả sử rằng $M$ là một tổng trực tiếp của các môđun con $M_i$ ($1 \leq i \leq h$). Hãy chỉ ra rằng

trong đó tổng lấy theo các dãy hữu hạn $(k_i)_{1 \leq i \leq h}$ sao cho $\sum k_i = k$.

(f) Nếu $N$ là một môđun con sinh hữu hạn của $M$, thì $d_k(M/N)^{i=1} \subset d_k(M)$ với mọi $k \geq 0$. Hãy chỉ ra rằng:

(g) Cho $K$ là một trường, $A$ là vành đa thức $K[X, Y, Z]$, $m$ là iđêan cực đại $AX + AY + AZ$ và $q$ là iđêan sinh bởi $X, Y^2, YZ$ và $Z^2$. Xét $A$-môđun $M = A/q$ và môđun con của nó $N = m/q$. Hãy chỉ ra rằng $d_0(M) = q$, $d_1(M) = A$, $d_0(N) = m^2$ và $d_1(N) = m$.