Exercice 12, § 4

Soient $A$ un anneau noethérien intégralement clos, $M, N$ deux

A-modules sans torsion de type fini, de même rang $r$, tels que $N \subset M$; soit $j : N \to M$ l’injection canonique.

a) Montrer que, pour tout $k$, $\bigwedge^k j : \bigwedge^k N \to \bigwedge^k M$ est pseudo-injectif, que $\operatorname{Coker} \left( \bigwedge^k j \right)$ est un A-module de torsion et que l’on a :

b) En utilisant a), démontrer que si $M$ est un A-module sans torsion de type fini, le sous-module de torsion de $\bigwedge^k M$ est pseudo-nul pour tout $k$, et l’on a $c \left( \bigwedge^k M \right) = (r - 1)_k c(M)$, où $M$ est de rang $r$; en particulier, on a $c \left( \bigwedge^r M \right) = c(M)$.