Bài tập 12, § 4

Cho $A$ là một miền Noether đóng nguyên và $M, N$ là hai $A$-môđun xoắn tự do sinh hữu hạn có cùng hạng $r$ sao cho $N \subset M$; gọi $j : N \to M$ là đơn ánh chính tắc. (a) Chứng minh rằng, với mọi $k$, $\bigwedge^k j : \bigwedge^k N \to \bigwedge^k M$ là giả đơn ánh, rằng $\operatorname{Coker}\left( \bigwedge^k j \right)$ là một $A$-môđun xoắn và rằng:

(b) Dùng (a), chứng minh rằng, nếu $M$ là một $A$-môđun xoắn tự do sinh hữu hạn, thì môđun con xoắn của $\bigwedge^k M$ là giả không với mọi $k$ và trong đó $M$ có hạng $r$; đặc biệt, $c\left( \bigwedge^r M \right) = c(M)$.