Exercice 16, § 4

a) Soient A un anneau prüférien, M un réseau de type fini dans un espace vectoriel V de rang fini $n$ sur le corps des fractions K de A. Montrer qu’il existe une base $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ de V et $n$ idéaux fractionnaires $a_i$ ($1 \leq i \leq n$), tels que M soit égal à la somme directe des $a_i e_i$. (Procéder par récurrence sur $n$ : si $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de V, considérer l’idéal fractionnaire de type fini $b_1$ engendré par les coordonnées sur $u_1$ des éléments de M ; en considérant le A-module $b_1^{-1}M$, se ramener au cas où $b_1 = A$.

En déduire que si W est un sous-espace de V, $M \cap W$ est facteur direct dans M.

b) Supposons que M soit un sous-module de $A^n$ égal à la somme directe des $a_i e_i$, où les $a_i$ sont des idéaux (entiers) de type fini de A et $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base canonique de $A^n$. Montrer qu’il existe une base $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $A^n$ et des idéaux $b_i$ de A tels que M soit somme directe des $b_i u_i$ et que $b_i$ divise $b_{i+1}$ pour $1 \leq i \leq n-1$. (Se ramener au cas où $n = 2$, et où $a_1 + a_2 = A$).