Bài tập 16, § 4

(a) Cho $A$ là một miền Prüfer và $M$ là một dàn sinh hữu hạn trong một không gian vectơ $V$ có hạng hữu hạn $n$ trên trường các phân thức $K$ của $A$. Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ của $V$ và $n$ iđêan phân thức $a, (1 \leq i \leq n)$ sao cho M bằng tổng trực tiếp của các $a_i e_i$. (Lập luận bằng quy nạp theo $n$: nếu $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của V, xét iđêan phân thức sinh hữu hạn $b_1$ được sinh bởi các tọa độ $u_1$ của các phần tử của M; bằng cách xét A-môđun $b_1^{-1}M$, rút gọn về trường hợp $b_1 = A$.)

Suy ra rằng, nếu W là một không gian con của V, $M \cap W$ là một nhân tử trực tiếp của M.

(b) Giả sử rằng M là một môđun con của A" bằng tổng trực tiếp của các $a_i e_i$, trong đó các $a_i$ là các iđêan sinh hữu hạn (nguyên) của A và $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là cơ sở chính tắc của $A^n$. Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ của A" và các iđêan $b_i$ của A sao cho M là tổng trực tiếp của các $b_i u_i$ và $b_i$ chia hết $b_{i+1}$ với $1 \leq i \leq n - 1$. (Rút gọn về trường hợp $n = 2$ và $a_1 + a_2 = A$.)