Exercice 22, § 4

Soient A un anneau local, m son idéal maximal, E un A-module de type fini.

a) Si $r = \gamma(E)$ est le plus petit des cardinaux d’un système de générateurs de E, r est aussi le plus petit entier h tel que l’idéal déterminantiel $d_h(E)$ soit égal à A et aussi le plus petit des entiers k tels que $\bigwedge^{k+1} E = 0$ (noter que r est le rang de $E/mE$ sur $A/m$).

b) Si on pose $e(E) = d_{r-1}(E)$, montrer que $\bigwedge^r E$ est isomorphe à $A/e(E)$. Pour qu’un idéal a de A contienne e(E), il faut et il suffit que $E/aE$ soit un $(A/a)$-module libre (se ramener au cas où $a = 0$).

c) Si $e(E)$ est un idéal principal $A\alpha$, montrer que E contient un facteur direct isomorphe à $A/A\alpha$ (écrire E comme quotient de $A^r$ par un sous-module R et noter qu’il y a dans R un élément de la forme $\alpha y$, où y est un élément d’une base de $A^r$).

d) Soit $d'_h(E)$ l’annulateur de $\bigwedge^{h+1} E$ pour $0 \leq h \leq r-1$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:

$\alpha)$ Les idéaux $d_h(E)$ ($0 \leq h \leq r-1$) sont principaux. $\beta)$ Les idéaux $d'_h(E)$ ($0 \leq h \leq r-1$) sont principaux. $\gamma)$ E est somme directe de r modules isomorphes à $A/A\lambda_h$, où $\lambda_{h+1}$ divise $\lambda_h$ pour $0 \leq h \leq r-1$.

En outre, lorsque ces conditions sont vérifiées, on a $d'_h(E) = A\lambda_h$ pour $0 \leq h \leq r-1$, et $d_h(E) = \lambda_h \lambda_{h+1} \cdots \lambda_{r-1} A$ pour $0 \leq h \leq r-1$. (Procéder par récurrence sur r, en utilisant c)).

e) On suppose en outre que A est intègre. Montrer que si p est un idéal premier de A tel que $E/pE$ soit un $(A/p)$-module libre et $E_p$ un

A_p\text{-module libre}, alors E est un A-module libre (en utilisant $b$), montrer que $\gamma(E_p) = \gamma(E)$ et que $e(E_p) = e(E)$.