Bài tập 22, § 4

Cho A là một vành địa phương, m là iđêan cực đại của nó và E là một A-môđun hữu hạn sinh.

(a) Nếu $r = \gamma(E)$ là số bé nhất trong các lực lượng của một hệ các phần tử sinh của E, thì r cũng là số nguyên h bé nhất sao cho iđêan định thức $d_h(E)$ bằng A và cũng là số nguyên k bé nhất sao cho $\bigwedge^{k+1} E = 0$ (chú ý rằng r là hạng của E/mE trên A/m).

(b) Nếu ta viết $e(E) = d_{r-1}(E)$, hãy chứng minh rằng $\bigwedge^r E$ đẳng cấu với $A/e(E)$. Đối với một iđêan a của A, để a chứa e(E), điều kiện cần và đủ là E/aE là một (A/a)-môđun tự do (rút gọn về trường hợp $a = 0$).

(c) Nếu e(E) là một iđêan chính $A\alpha$, hãy chứng minh rằng E chứa một nhân tử trực tiếp đẳng cấu với $A/A\alpha$ (viết E như một môđun thương của $A^r$ bởi một môđun con R và chú ý rằng trong R có một phần tử dạng $\alpha y$, trong đó y là một phần tử của một cơ sở của $A^r$).

(d) Gọi $d'_h(E)$ là linh hóa tử của $\bigwedge^{h+1} E$ với $0 \leq h \leq r-1$. Hãy chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (α) Các iđêan $d_h(E)$ ($0 \leq h \leq r-1$) là chính. (β) Các iđêan $d'_h(E)$ ($0 \leq h \leq r-1$) là chính. (γ) E là tổng trực tiếp của r môđun đẳng cấu với $A/A\lambda_n$, trong đó $\lambda_{n+1}$ chia hết $\lambda_n$ với $0 \leq h \leq r-1$. Ngoài ra, nếu các điều kiện này được thỏa mãn, thì $d'_h(E) = A\lambda_h$ với $0 \leq h \leq r-1$ và $d_h(E) = \lambda_n \lambda_{n+1} \ldots \lambda_{r-1} A$ với $0 \leq h \leq r-1$. (Tiến hành bằng quy nạp theo r, sử dụng (c).)

(e) Giả sử thêm rằng A là một miền nguyên. Hãy chứng minh rằng, nếu p là một iđêan nguyên tố của A sao cho $E/pE$ là một (A/p)-môđun tự do và E, một A-môđun tự do, thì E là một A-môđun tự do (sử dụng (b), chứng minh rằng $\gamma(E_p) = \gamma(E)$ và rằng $e(E_p) = e(E)$).