Exercice 23, § 4

Soient A un anneau, E un A-module de type fini, $r$ le plus petit des entiers $k$ tels que $\bigwedge^{k+1} E = 0$, $e(E)$ l’annulateur de $\bigwedge^r E$. Montrer que pour tout idéal $a \supset e(E)$ dans A, le $(A/a)\text{-module } E/aE$ est plat (se ramener au cas où A est un anneau local, et utiliser l’exerc. 22 b)). En déduire que si $r$ est le radical de A et si, pour tout idéal maximal $m$ de A, le rang du $(A/m)\text{-espace vectoriel } E/mE$ est le même, alors $E/rE$ est un $(A/r)\text{-module plat}$.