Exercice 26, § 4

Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini. Pour que l’algèbre symétrique $S(M)$ soit un anneau factoriel, il faut et il suffit que A soit un anneau factoriel et que les $S^n(M)$ soient des A-modules réflexifs. (Pour voir que la condition est suffisante, observer d’abord que si $T = A - \{0\}$, $S(M)$ s’identifie à un sous-anneau de $T^{-1}S(M)$; montrer ensuite que tout élément extrémal $p$ de A est extrémal dans $S(M)$, en se ramenant à prouver que si $p$ divise dans $S(M)$ un produit $xy$ de deux éléments homogènes, il divise l’un d’eux ; enfin, appliquer la prop. 3 du § 3, n° 4).