Bài tập 26, § 4

Cho $A$ là một vành Noether và $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Để đại số đối xứng $S(M)$ là một miền nhân tử, điều kiện cần và đủ là $A$ là một miền nhân tử và các $S^n(M)$ là các $A$-môđun phản xạ. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, trước hết nhận xét rằng, nếu $T = A - \{0\}$, $S(M)$ được đồng nhất với một vành con của $T^{-1}S(M)$; sau đó chứng minh rằng mọi phần tử cực trị $p$ của $A$ là cực trị trong $S(M)$, bằng cách quy về việc chứng minh rằng, nếu $p$ chia một tích $xy$ của hai phần tử thuần nhất trong $S(M)$, thì nó chia một trong hai phần tử đó; cuối cùng, áp dụng Mệnh đề 3 của § 3, no. 4.)