Exercice 3, § 4

Soient A un anneau noethérien intégralement clos, K son corps des fractions, M un réseau réflexif d’un espace vectoriel V de rang fini sur K, L un réseau libre de V contenant M. Montrer qu’il existe un réseau libre $L_1$ de V tel que $M = L \cap L_1$. (Considérer l’ensemble fini I des idéaux premiers $p$ de hauteur 1 de A tels que $L_p \neq M_p$, et l’anneau principal $S^{-1}A$, où $S = \bigcap_{p \in I} (A - p)$; montrer qu’il existe un réseau libre $L_0$ de V tel que $M_p = (L_0)_p$ pour tout $p \in I$, et un $s \in S$ tel que $M \subset s^{-1}L_0 = L_1$.