Exercice 1, § 1

Soient X un espace topologique et Y un sous-espace de X. On dit que Y est très dense dans X si pour toute partie fermée F de X, F est l’adhérence de $F \cap Y$. a) Pour que Y soit très dense dans X, il faut et il suffit que pour toute partie localement fermée non vide F de X, $F \cap Y$ soit non vide. b) Si Y est très dense dans X et Z un sous-espace de Y très dense dans X, Z est très dense dans X. Si Y est très dense dans X et F une partie localement fermée de X, $Y \cap F$ est très dense dans F. c) Si Y est très dense dans X, on a $\dim(Y) = \dim(X)$.