Exercice 12, § 1

a) Soient A un anneau, I et J deux idéaux de A. On suppose que pour tout idéal maximal m de A, on a IA_m = JA_m. En déduire que l’on a I = J. b) Soit A un anneau tel que, pour tout idéal maximal m de A, l’anneau A_m soit noethérien et que, pour tout élément f non nul de A, il n’existe qu’un nombre fini d’idéaux maximaux de A contenant f. Alors A est noethérien. (Soit a un idéal de A. On montrera d’abord qu’il existe une famille finie (x_1, ..., x_n) d’éléments de a telle que les idéaux maximaux de A qui contiennent {x_1, ..., x_n} contiennent a. On construira alors une famille finie d’éléments y_1, ..., y_l de a telle que pour tout idéal maximal m de A, {y_1, ..., y_l} engendre l’idéal aA_m de A_m. On conclura en utilisant a). c) Soit A un anneau semi-local tel que, pour tout idéal maximal m, l’anneau A_m soit noethérien. Alors A est noethérien.