Bài tập 12, § 1

(a) Cho A là một vành, I và J là hai iđêan của A. Giả sử rằng với mọi iđêan cực đại m của A, ta có IA_m = JA_m. Suy ra rằng I = J.

(b) Cho A là một vành sao cho, với mọi iđêan cực đại m của A, vành A_m là Noether và sao cho, với mọi phần tử khác không f của A, chỉ tồn tại một số hữu hạn iđêan cực đại của A chứa f. Khi đó A là Noether. (Cho a là một iđêan của A. Trước hết ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một họ hữu hạn (x_1, ..., x_n) các phần tử của a sao cho các iđêan cực đại của A chứa {x_1, ..., x_n} chứa a. Sau đó ta sẽ xây dựng một họ hữu hạn các phần tử y_1, ..., y_l của a sao cho với mọi iđêan cực đại m của A, {y_1, ..., y_l} sinh ra iđêan aA_m của A_m. Ta sẽ kết luận bằng cách sử dụng a).

(c) Cho A là một vành nửa địa phương sao cho, với mọi iđêan cực đại m, vành A_m là Noether. Khi đó A là Noether.