Exercice 13, § 1

Soient K un corps, $(n_r)_{r \geq 1}$ une suite strictement croissante d’entiers $> 0$; pour tout entier $i \geq 0$, notons $p_i$ l’idéal de l’anneau $K[(X_j)_{j \in \mathbf{N}}]$ engendré par les $X_j$ pour $n_1 + \cdots + n_i \leq j < n_1 + \cdots + n_i + n_{i+1}$, et soit S l’ensemble des éléments de $K[(X_j)]$ qui n’appartiennent à aucun des $p_i$. Alors l’anneau $S^{-1}K[(X_j)]$ est noethérien et de dimension infinie (utiliser l’exercice 12 pour montrer que $S^{-1}K[(X_j)]$ est noethérien) $^1$.