Bài tập 13, § 1

Cho K là một trường, $(n_r)_{r \geq 1}$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên $> 0$; với mọi số nguyên $i \geq 0$, gọi $p_i$ là iđêan của vành $K[(X_j)_{j \in \mathbf{N}}]$ sinh bởi các $X_j$ với $n_1 + \cdots + n_i \leq j < n_1 + \cdots + n_i + n_{i+1}$, và gọi S là tập hợp các phần tử của $K[(X_j)]$ không thuộc bất kỳ iđêan $p_i$ nào. Khi đó vành $S^{-1}K[(X_j)]$ là Noether và có chiều vô hạn (dùng Bài tập 12 để chứng minh rằng $S^{-1}K[(X_j)]$ là Noether) $^1$.