Exercice 14, § 1

Soit V un anneau de valuation discrète, et soit $\pi$ une uniformisante de V. Dans l’anneau $V[T]$, l’idéal $m_1 = (\pi T - 1)$ est maximal et de hauteur 1, l’idéal $m_2 = (\pi) + (T)$ est maximal et de hauteur 2. Les corps $V[T]/m_1$ et $V[T]/m_2$ sont isomorphes au corps des fractions de V et au corps résiduel de V respectivement. On a $\dim(V[T]) = 2$, mais $\dim(V[T]/m_1) + \dim(V[T]_{m_1}) = 1$ et $\dim(\mathrm{gr}_{m_1}(V[T])) = 1$.