Exercice 17, § 1

a) Soient A un anneau intègre et $f \in A[T]$, $f \neq 0$. Montrer qu’il existe un idéal maximal m de $A[T]$ tel que $f \notin m$ (prendre un idéal maximal contenant $T.f - 1$). b) Soit A un anneau. Montrer que l’on a $\dim(\mathrm{Specmax}(A[T])) \geq \dim(A) + 1$. (Soit $p_0 \subset p_1 \cdots \subset p_n$ une chaîne d’idéaux premiers de A. Considérons la chaîne

d’idéaux premiers de $A[T]$ et posons Montrer en utilisant a) que $(U_i)_{0 \leq i \leq n+1}$ est une suite strictement croissante de parties fermées irréductibles de $\mathrm{Specmax}(A[T])$. c) Soient $k$ un corps, S la partie de $k[X, Y]$ formée des éléments de la forme $1 + Xg(X, Y)$, et $A = S^{-1}k[X, Y]$. Montrer que l’on a $\dim(\mathrm{Specmax}(A)) = 1$ et $\dim(\mathrm{Spec}(A)) = 2$. Généraliser au cas de plusieurs indéterminées. d) Montrer que pour tout couple d’entiers $0 \leq n < m$, il existe un anneau noethérien A tel que $\dim(\mathrm{Specmax}(A)) = n$ et $\dim(\mathrm{Specmax}(A[T])) = m$. e) Soit A l’anneau noethérien défini dans l’exerc. 13. Montrer que l’on a $\dim(\mathrm{Specmax}(A)) = 1$ et $\dim(\mathrm{Specmax}(A[T])) = \infty$.

1 Cet exemple est dû à M. Nagata, Local Rings, Interscience Publishers, 1960.