Bài tập 17, § 1

a) Cho A là một miền nguyên và $f \in A[T]$, $f \neq 0$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một iđêan cực đại m của $A[T]$ sao cho $f \notin m$ (lấy một iđêan cực đại chứa $T.f - 1$). b) Cho A là một vành. Bây giờ chứng minh rằng $\dim(\mathrm{Specmax}(A[T])) \geq \dim(A) + 1$. (Cho $p_0 \subset p_1 \cdots \subset p_n$ là một dây chuyền các iđêan nguyên tố của A. Xét dây chuyền

các iđêan nguyên tố của $A[T]$ và đặt Bây giờ dùng a) chứng minh rằng $(U_i)_{0 \leq i \leq n+1}$ là một dãy tăng ngặt các tập con đóng bất khả quy của $\mathrm{Specmax}(A[T])$. c) Cho $k$ là một trường, S là tập con của $k[X, Y]$ được tạo thành bởi các phần tử có dạng $1 + Xg(X, Y)$, và $A = S^{-1}k[X, Y]$. Bây giờ chứng minh rằng $\dim(\mathrm{Specmax}(A)) = 1$ và $\dim(\mathrm{Spec}(A)) = 2$. Tổng quát hóa cho trường hợp có nhiều bất định. d) Bây giờ chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên $0 \leq n < m$, tồn tại một vành Noether A sao cho $\dim(\mathrm{Specmax}(A)) = n$ và $\dim(\mathrm{Specmax}(A[T])) = m$. e) Cho A là vành Noether được xác định trong bài tập 13. Bây giờ chứng minh rằng $\dim(\mathrm{Specmax}(A)) = 1$ và $\dim(\mathrm{Specmax}(A[T])) = \infty$.

1 Ví dụ này là do M. Nagata, Local Rings, Interscience Publishers, 1960.