Exercice 6, § 1

a) Soient A un anneau (commutatif) noethérien, m un idéal de A contenu dans le radical de A, et gr(A) l’anneau gradué associé à la filtration m-adique de A. Associer à chaque idéal de A un idéal de gr(A), et en déduire que Kdev(A) \leq Kdev(gr(A)) (cf. exerc. 4, c)). Par conséquent, on a dim(A) \leq dim(gr(A)) (exerc. 5, c)). b) On suppose désormais que l’on a m = xA, où x appartient au radical de A. Montrer que gr(A) est isomorphe à un quotient de l’algèbre graduée (A/m)[T]; montrer que l’ensemble ordonné F des idéaux gradués de (A/m)[T] est isomorphe à l’ensemble des suites croissantes d’idéaux de A/m; en déduire (exerc. 4, d)) que l’on a dev(F) = Kdev(A/(x)) + 1, puis dim(A) \leq dim(A/m) + 1.