Bài tập 6, § 1

a) Cho $A$ là một vành Noether (giao hoán), $m$ là một iđêan của $A$ được chứa trong căn của $A$, và $gr(A)$ là vành phân bậc liên kết với lọc $m$-adic của $A$. Gán cho mỗi iđêan của $A$ một iđêan của $gr(A)$, và suy ra rằng $Kdev(A) \leq Kdev(gr(A))$ (cf. exerc. 4, c)). Do đó, ta có $\dim(A) \leq \dim(gr(A))$ (exerc. 5, c)). b) Bây giờ giả sử rằng $m = xA$, trong đó $x$ thuộc căn của $A$. Bây giờ chứng minh rằng $gr(A)$ đẳng cấu với một thương của đại số phân bậc $(A/m)[T]$; bây giờ chứng minh rằng tập hợp có thứ tự $F$ gồm các iđêan phân bậc của $(A/m)[T]$ đẳng cấu với tập hợp các dãy tăng của các iđêan của $A/m$; suy ra (exerc. 4, d)) rằng $dev(F) = Kdev(A/(x)) + 1$, và do đó $\dim(A) \leq \dim(A/m) + 1$.