Exercice 7, § 1

Soit A l’anneau des germes en 0 de fonctions de classe C^{\infty} sur \mathbf{R}_+. On se propose de montrer que l’anneau A est de dimension infinie. On note C l’algèbre des fonctions de classe C^{\infty} sur \mathbf{R}_+, F l’idéal formé des fonctions nulles au voisinage de 0, de sorte que A = C/F. a) Soit (x_n)_{n \in \mathbf{N}} une suite strictement décroissante, tendant vers 0, d’éléments de \mathbf{R}_+, et soit \mathscr{U} un ultrafiltre sur \mathbf{N} plus fin que le filtre des complémentaires des parties finies. Montrer que l’ensemble J_1 des f \in C telles que l’ensemble des n \in \mathbf{N} tels que f(x_n) = 0 appartienne à \mathscr{U}, est un idéal premier de C. b) On note \tau_n(f) la fonction x \mapsto f(x + x_n). Montrer que si J est un idéal premier de C, l’ensemble \varphi(J) des f tels que l’ensemble des n \in \mathbf{N} avec \tau_n f \in J appartienne à \mathscr{U} est un idéal premier de C. c) On définit une suite I_n d’idéaux de C par I_0 = J_1, I_{n+1} = \varphi(I_n). Montrer que (I_n)_{n \in \mathbf{N}} est une suite strictement décroissante d’idéaux premiers de C contenant F.