Bài tập 7, § 1

Cho A là vành các mầm tại 0 của các hàm thuộc lớp C^{\infty} trên \mathbf{R}_+. Ta đề nghị chứng minh rằng vành A có chiều vô hạn. Ký hiệu C là đại số các hàm thuộc lớp C^{\infty} trên \mathbf{R}_+, F là iđêan gồm các hàm bằng không trên một lân cận của 0, sao cho A = C/F. a) Cho (x_n)_{x \in \mathbf{N}} là một dãy giảm nghiêm ngặt, tiến tới 0, gồm các phần tử của \mathbf{R}_+, và cho \mathscr{U} là một siêu lọc trên \mathbf{N} mịn hơn bộ lọc gồm các phần bù của các tập con hữu hạn. Chứng minh rằng tập hợp J_1 gồm các f \in C sao cho tập hợp các n \in \mathbf{N} thỏa mãn f(x_n) = 0 thuộc \mathscr{U}, là một iđêan nguyên tố của C. b) Ký hiệu \tau_n(f) là hàm x \mapsto f(x + x_n). Chứng minh rằng nếu J là một iđêan nguyên tố của C, thì tập hợp \varphi(J) gồm các f sao cho tập hợp các n \in \mathbf{N} với \tau_n f \in J thuộc \mathscr{U} là một iđêan nguyên tố của C. c) Định nghĩa một dãy I_n các iđêan của C bởi I_0 = J_1, I_{n+1} = \varphi(I_n). Chứng minh rằng (I_n)_{n \in \mathbf{N}} là một dãy giảm nghiêm ngặt các iđêan nguyên tố của C chứa F.