Exercice 1, § 2

Soient V un anneau de valuation discrète, de corps de fractions K et n un entier. Soit A le sous-anneau de l’anneau de polynômes K[X₁, ..., Xₙ] formé des polynômes dont le terme constant est dans V. L’homomorphisme canonique de V dans A satisfait la propriété (PM) et l’homomorphisme canonique V/mᵥ → A/mᵥA est un isomorphisme. Par ailleurs on a dim(A) ≥ n + 1 et dim(V) = 1. Dès que n ≥ 1, on a donc dim(A) > dim(V) + dim(A/mᵥA). Montrer que A n’est pas noethérien. En utilisant des séries formelles, construire un exemple analogue où A est local et non noethérien.