Bài tập 1, § 2

Cho $V$ là một vành định giá rời rạc, với trường phân thức $K$, và cho $n$ là một số nguyên. Cho $A$ là vành con của vành đa thức $K[X_1, ..., X_n]$ gồm các đa thức mà số hạng hằng thuộc về $V$. Đồng cấu chính tắc từ $V$ đến $A$ thỏa mãn tính chất (PM), và đồng cấu chính tắc $V/m_v \to A/m_vA$ là một đẳng cấu. Hơn nữa, ta có $\dim(A) \geq n + 1$ và $\dim(V) = 1$. Ngay khi $n \geq 1$, do đó ta có $\dim(A) > \dim(V) + \dim(A/m_vA)$. Bây giờ chứng minh rằng $A$ không là Noether. Dùng các chuỗi hình thức, xây dựng một ví dụ tương tự trong đó $A$ là địa phương và không Noether.