Exercice 10, § 2

a) Soient $A$ un anneau intègre, $K$ son corps des fractions et $m$ un entier positif. Soient $t_1, ..., t_m$ des éléments de $K$ et $\varphi : A[X_1, ..., X_m] \to A[t_1, ..., t_m]$ l’unique homomorphisme de $A$-algèbres tel que $\varphi(X_i) = t_i$. Montrer que la hauteur de l’idéal noyau de $\varphi$ est égale à $m$. b) En déduire que pour tout $m$-uple $(t_1, ..., t_m)$ d’éléments de $K$, on a $\dim(A[t_1, ..., t_m]) \leq \dim(A[X_1, ..., X_m]) - m$.