Bài tập 10, § 2

(a) Cho $A$ là một miền nguyên, $K$ là trường các phân thức của nó và $m$ là một số nguyên dương. Cho $t_1, ..., t_m$ là các phần tử của $K$ và cho $\varphi : A[X_1, ..., X_m] \to A[t_1, ..., t_m]$ là đồng cấu duy nhất của các $A$-đại số sao cho $\varphi(X_i) = t_i$. Bây giờ chứng minh rằng chiều cao của iđêan hạt nhân của $\varphi$ bằng $m$. (b) Suy ra rằng với mọi $m$-bộ $(t_1, ..., t_m)$ gồm các phần tử của $K$, ta có $\dim(A[t_1, ..., t_m]) \leq \dim(A[X_1, ..., X_m]) - m$.