Exercice 12, § 2

a) Soient $A$ et $K$ comme ci-dessus, $B$ un anneau intègre contenant $A$ et entier sur $A$, $L$ le corps de fractions de $B$. Soit $k \geq 0$ un entier. Si, pour tout $m$-uple $(t_1, ..., t_m)$ d’éléments de $L$, on a $\dim(A[t_1, ..., t_m]) \leq k$, pour tout $m$-uple d’éléments $u_1, ..., u_m$ de $L$, on a $\dim(B[u_1, ..., u_m]) \geq k$. b) Soit $p$ un idéal premier de $A$. Montrer que si, pour tous les $m$-uples $(t_1, ..., t_m)$ d’éléments de $K$, on a $\dim(A[t_1, ..., t_m]) \leq k$, alors on a pour tous les $m$-uples $(s_1, ..., s_m)$ d’éléments du corps des fractions de $A/p$, l’inégalité $\dim((A/p)[s_1, ..., s_m]) \leq k - \mathrm{ht}(p)$.