Exercice 13, § 2

Soient $A$ un anneau intègre et $K$ son corps des fractions. Pour tout entier $k \geq 0$, les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) Tout sous-anneau $B$ de $K$ contenant $A$ est de dimension $\leq k$. (ii) Tout anneau de valuation $V$ de $K$ contenant $A$ est de dimension $\leq k$. (iii) Pour tout choix de $k$ éléments $t_1, ..., t_k$ de $K$, on a $\dim(A[t_1, ..., t_k]) \leq k$. (iv) On a $\dim(A[X_1, ..., X_m]) \leq k + m$ pour tout entier $m \geq 0$.