Exercice 14, § 2

Algèbre commutative, VIII, p. 85

Soient $A$ un anneau intègre, de corps des fractions $K$ , et $m \in \mathbf{N}$ . Montrer que l’on a

\dim(A[X_1, ..., X_m]) = m + \sup \left\{ \dim(A[t_1, ..., t_m]) | t_i \in K, 1 \leq i \leq m \right\}.

(On utilisera l’exerc. 10). Plus généralement si

F

est un corps, extension de

K

, montrer que l’on a

\dim(A[X_1, ..., X_m]) = \sup \left\{ \dim(A[t_1, ..., t_m]) | t_i \in F, 1 \leq i \leq m \right\} + \sup(0, m - \deg. \operatorname{tr}_K(F)).

Solution

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