Exercice 16, § 2

Soient $A$ un anneau intègre et $K$ son corps des fractions. On appelle dimension valuative de $A$ et l’on note $\dim_v(A)$ le nombre réel $\sup_{A \subset V \subset K} \dim(V)$, où $V$ parcourt l’ensemble des anneaux de valuation de $K$ contenant $A$. a) Montrer que l’on a $\dim(A) \leq \dim_v(A)$ (exerc. 11). b) Si $A$ est prüférien (VII, § 2, exerc. 12), montrer que l’on a $\dim(A) = \dim_v(A)$. c) Montrer que, pour tout $m \in \mathbf{N}$, on a

(On remarquera qu’un anneau de valuation est prüférien et l’on utilisera b) et l’exerc. 6, p. 84.)

d) Montrer que si l’on a $\dim_v(A) = s < \infty$, on a pour tout entier $m \geqslant s - 1$ l’égalité

e) Soit $s \in \mathbf{N}$. Montrer que l’on a $\dim_v(A) = s$ si et seulement si $\dim(A[X_1, ..., X_s]) = 2s$ (utiliser d) et les exerc. 13 et 14). En déduire que, pour tout anneau $A$ intègre et noethérien, on a $\dim(A) = \dim_v(A)$.