Bài tập 16, § 2

Cho $A$ là một vành nguyên và $K$ là trường phân thức của nó. Chiều định giá của $A$ được gọi là và ký hiệu là $\dim_v(A)$ số thực $\sup_{A \subset V \subset K} \dim(V)$, trong đó $V$ chạy qua tập hợp các vành định giá của $K$ chứa $A$. a) Bây giờ chứng minh rằng ta có $\dim(A) \leq \dim_v(A)$ (Bài tập 11). b) Nếu $A$ là prüferian (VII, § 2, Bài tập 12), chứng minh rằng ta có $\dim(A) = \dim_v(A)$. c) Chứng minh rằng, với mọi $m \in \mathbf{N}$, ta có

(Ta sẽ nhận xét rằng một vành định giá là prüferian và sẽ sử dụng b) và Bài tập 6, p. 84.)

d) Chứng minh rằng nếu ta có $\dim_v(A) = s < \infty$, ta có với mọi số nguyên $m \geqslant s - 1$ đẳng thức

e) Cho $s \in \mathbf{N}$. Chứng minh rằng ta có $\dim_v(A) = s$ khi và chỉ khi $\dim(A[X_1, ..., X_s]) = 2s$ (sử dụng $d$) và Bài tập 13 và 14). Suy ra rằng, với mọi vành nguyên và Noether $A$, ta có $\dim(A) = \dim_v(A)$.