Exercice 17, § 2

Soit $A$ un anneau intègre. Posons $n_k(A) = \dim(A[X_1, ..., X_k])$ pour tout entier $k \geqslant 0$. Soit $\mathfrak{D}$ l’ensemble des suites d’entiers $(n_i)_{i \geqslant 0}$ telles qu’il existe un anneau intègre $A$ avec $n_i = n_i(A)$ pour tout entier $i \geqslant 0$. a) Démontrer les inégalités

b) Montrer que la seule suite d’entiers commençant par 1, 2 et qui appartient à $\mathfrak{D}$ est la suite $n_i = i + 1$. (Soit $A$ tel que $n_0(A) = 1$, $n_1(A) = 2$. D’après l’exerc. 6, p. 84, la clôture intégrale de $A$ est prüférienne. Utiliser l’exerc. 6, c), p. 84 pour conclure.) c) Démontrer les inégalités

En déduire que si l’on a $n_0(A) = 0$, alors on a $n_i(A) = i$ pour tout $i \in \mathbf{N}$. d) Montrer que la suite des différences $n_{i+1}(A) - n_i(A)$ est stationnaire. e) On utilise les notations de l’exerc. 7, p. 84. Soit $\delta$ le degré de transcendance de $L'$ sur $L$. Alors : (i) Si $\delta = 0$, on a $n_i(A) = n_i(B) + 1$ pour tout $i$. (ii) Si $1 \leqslant \delta < \infty$, on a $n_i(A) = n_i(B) + i + 1$ pour $0 \leqslant i \leqslant \delta$ et $n_i(A) = n_i(B) + \delta + 1$ pour $i \geqslant \delta$. (iii) Si $\delta = \infty$, on a $n_i(A) = n_i(B) + i + 1$ pour tout $i$. (Pour une caractérisation des éléments de $\mathfrak{D}$, on pourra consulter T. Parker, Amer. J. Math., 97 (1975), p. 308-311.)