Bài tập 17, § 2

Cho $A$ là một miền nguyên. Đặt $n_k(A) = \dim(A[X_1, ..., X_k])$ với mọi số nguyên $k \geqslant 0$. Gọi $\mathfrak{D}$ là tập hợp các dãy số nguyên $(n_i)_{i \geqslant 0}$ sao cho tồn tại một miền nguyên $A$ với $n_i = n_i(A)$ với mọi số nguyên $i \geqslant 0$. a) Chứng minh các bất đẳng thức

b) Bây giờ chứng minh rằng dãy số nguyên duy nhất bắt đầu bằng 1, 2 và thuộc $\mathfrak{D}$ là dãy $n_i = i + 1$. (Cho $A$ sao cho $n_0(A) = 1$, $n_1(A) = 2$. Theo Bài tập 6, p. 84, bao đóng nguyên của $A$ là prüferian. Dùng Bài tập 6, $c$), p. 84 để kết luận.) c) Chứng minh các bất đẳng thức

Suy ra rằng nếu $n_0(A) = 0$, thì $n_i(A) = i$ với mọi $i \in \mathbf{N}$. d) Chứng minh rằng dãy các hiệu $n_{i+1}(A) - n_i(A)$ là dừng. e) Ta dùng ký hiệu của Bài tập 7, p. 84. Gọi $\delta$ là bậc siêu việt của $L'$ trên $L$. Khi đó: (i) Nếu $\delta = 0$, ta có $n_i(A) = n_i(B) + 1$ với mọi $i$. (ii) Nếu $1 \leqslant \delta < \infty$, ta có $n_i(A) = n_i(B) + i + 1$ với $0 \leqslant i \leqslant \delta$ và $n_i(A) = n_i(B) + \delta + 1$ với $i \geqslant \delta$. (iii) Nếu $\delta = \infty$, ta có $n_i(A) = n_i(B) + i + 1$ với mọi $i$. (Để đặc trưng hóa các phần tử của $\mathfrak{D}$, có thể tham khảo T. Parker, Amer. J. Math., 97 (1975), p. 308-311.)