Exercice 6, § 2

a) Utilisant les exercices précédents, montrer que si A est un anneau intègre de dimension 1, on a dim(A[X]) = 2 si et seulement si tous les localisés en un idéal premier de la clôture intégrale de A sont des anneaux de valuation. b) Montrer que si l’on a dim(A) = n et dim(A[X]) > n + 1, il existe un idéal premier p de A tel que ht(p) = 1 et, ou bien dim(A_p[X]) > 2, ou bien dim((A/p)[X]) > dim(A/p) + 1. c) En déduire que si A est prüférien (VII, § 2, exerc. 12), on a dim(A[X₁, ..., Xₙ]) = dim(A) + n, pour tout entier n ≥ 0.