Exercice 7, § 2

Soit B un anneau intégralement clos, de corps des fractions L. On pose d = dim(B) et t = dim(B[X]). Soit L’ une extension non triviale de L dans laquelle L est algébriquement fermé et soit V un anneau de valuation discrète (qui n’est pas un corps) ayant pour corps résiduel L’. On notera K le corps des fractions de V et A l’ensemble des éléments de V dont l’image dans L’ par l’homomorphisme canonique V → L’ appartient à B. L’anneau A est intégralement clos de corps des fractions K. Notons p le noyau de l’homomorphisme surjectif A → B. Montrer que tout idéal premier non nul de A contient p d’où dim(A) = dim(B) + 1. Considérant un élément x de V dont l’image dans L’ n’appartient pas à L, montrer que l’anneau de fractions A_p n’est pas un anneau de valuation, et que pA_p[x] n’est pas minimal parmi les idéaux premiers non nuls de A_p[x]. En utilisant l’exerc. 6, en déduire que l’on a dim(A[x]) ≥ t + 2. Conclure que l’on a dim(A[x]) = t + 2 par un argument direct. Montrer enfin que pour tout couple (d, t ) d’entiers avec d + 1 ≤ t ≤ 2d + 1, il existe un anneau intègre A de dimension d tel que dim(A[X]) = t.