Bài tập 7, § 2

Cho B là một vành nguyên đóng, với trường các phân thức L. Đặt d = dim(B) và t = dim(B[X]). Cho L’ là một mở rộng không tầm thường của L trong đó L đóng đại số và cho V là một vành định giá rời rạc (không phải là một trường) có trường thặng dư L’. Ta sẽ ký hiệu K là trường các phân thức của V và A là tập hợp các phần tử của V có ảnh trong L’ qua đồng cấu chính tắc V → L’ thuộc B. Vành A là nguyên đóng với trường các phân thức K. Gọi p là hạt nhân của đồng cấu toàn ánh A → B. Bây giờ chứng minh rằng mọi iđêan nguyên tố khác không của A đều chứa p, do đó dim(A) = dim(B) + 1. Xét một phần tử x của V có ảnh trong L’ không thuộc L, chứng minh rằng vành phân thức A_p không là một vành định giá, và rằng pA_p[x] không là cực tiểu trong các iđêan nguyên tố khác không của A_p[x]. Dùng Bài tập 6, suy ra rằng dim(A[x]) ≥ t + 2. Kết luận rằng dim(A[x]) = t + 2 bằng một lập luận trực tiếp. Cuối cùng, chứng minh rằng với mọi cặp (d, t ) số nguyên thỏa mãn d + 1 ≤ t ≤ 2d + 1, tồn tại một miền nguyên A có chiều d sao cho dim(A[X]) = t.